Ecuaciones Difernciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas

La sencilla ecuación diferencial de primer orden $ydx+xdy=0$ , es separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer que la expresión del lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la función $f(x,y)=xy$ , es decir, $d(xy)=ydx+xdy$ .

En esta sección nos sentramos en las ecuaciones de primer orden, cuaya forma diferencial sea ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

Aplicando una prueba simple a M y a N, podemos determinar si ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy}$ es una diferencial de una función $f(x,y)$ .

Definición

Una expresión diferencial ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy}$ es una diferencial exacta en una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función $f(x,y)$ defi nida en R.

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$ se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Criterio para determinar la exactitud de una E.D

Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por $a< x< b,c< y< d$ . Entonces una condición necesaria y suficiente para que ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy}$

sea una diferencial exacta es ${\color{Blue} \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial dx}}$

Método de solución

Dada una ecuación en la forma diferencial ${\color{red} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

Determine si la igualdad de la ecuación ${\color{Blue} \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial dx}}$ es válida. Si es así, entonces existe una función f para la que ${\color{Blue} \frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)}$ o ${\color{Blue} \frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)}$

Suponga que se ha escogido ${\color{Blue} \frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)}$ Integrando respecto a x (Si escoge la segunda relación, la integración se hace respecto a y). $f(x,y)=\int M(x,y)dx+\Phi (y)$ Donde $\Phi (y)$ es una función arbitraria que será la constante de integración. Derivando respecto a y.

$\frac{df}{dy}=\frac{d}{dy}\int Mdx+\Phi{}' (y)$ Puesto que se supone que $\frac{df}{dy}=N(x,y)$ , entonces $\frac{d}{dy}\int Mdx+\Phi {}'(y)=N(x,y)$

Para lo que $\Phi {}'(y)=N(x,y)-\frac{d}{dy}\int Mdx$ , Integrando se obtiene el valor de $\Phi (y)$ que puede sustituirse en $f(x,y)=\int M(x,y)dx+\Phi (y)$ y la solución de la ecuación diferencial es $f(x,y)=k$

Ahora apliquemos estas definicones y método para resolver y encontrar la solucíon de algunas ecuaciones exactas.

Ejempo 1.

Resolver la ecuación diferencial $(2x-1)dx+(3y+7)dy=0$

Solución

Dada la ecuacón diferencail $(2x-1)dx+(3y+7)dy=0$ , hacemos que:

$M(x,y)=(2x-1)$ $N(x,y)=(3y+7)$

Derivamos y obtenemos que:

$\frac{\partial M}{\partial y}=0$ y $\frac{\partial N}{\partial x}=0$ , luego ${\color{Blue} \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial dx}}$ , entonces la ecuacion es exacta.