Ecuaciones Reducibles a Exactas

Ecuaciones Reducibles a Exactas

En muchos casos, no es posible verifcar que una ecuación diferencial cumpla la condición de exactitud. Es decir se observa que:

\frac{\partial M}{\partial y}\neq \frac{\partial N}{\partial x}

Sin embargo, a veces es posible hallar una función denominada factor integrante, que al multiplicar la ecuación diferencial inicial por este la convierte en una ecuación diferencial exacta. Existen varias formas de convertir en exacta una ecuación diferencial; en este post se consideran dos casos especiales a partir de la derivada parciales de la ecuación diferencial y te mostraremos la forma de calcular otros factores integrantes.

Factor integrante

El factor integrante, tambien conocido como factor integrador o factor de integración de una ecuación diferencial, define como una función que al multiplicar una ecuación diferencial no exacta puede recudirla a una ecuación diferencial exacta. Simbolizaremos el factor integrante con:

\mu (x,y),    

Al multiplicar el factor integrante por las derivadas parciales tenemos que:

\frac{\partial }{\partial y}[\mu (x,y)M(x,y)]=\frac{\partial }{\partial x}[\mu (x,y)N(x,y)]

de lo anterior se tiene que:

Caso 1: función sólo de x

\frac{1}{N(x,y)}(\frac{M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})=f(x)

entonces,

\mu (x,y)=e^{\int f(x)dx}

es el factor integrante buscado para reducir la ecuación diferencial de inexacta a exacta.

Ejemplo 1.

Caso 2: función sólo de y

\frac{1}{M(x,y)}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})=f(y)

entonces,

\mu (x,y)=e^{\int f(y)dy}

es el factor integrante buscado para reducir la ecuación diferencial de inexacta a exacta.

Ejemplo 2.

Factores Integrantes Mixtos

Son los factores integrantes que involucran varias variables al mismo tiempo y su forma puede variar dependiendo como estre escrita la ecuación diferencial.

Caso 1: función sólo de x+y

\frac{1}{M(x,y)-N(x,y)}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})=f(x+y)

entonces,

\mu (x+y)=e^{\int f(x+y)dz}, \therefore  z=x+y

Ejemplo 3.

Caso 2: función sólo de xy

\frac{1}{N(x,y)*y-M(x,y)*x}(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})=f(x*y)

entonces,

\mu (x*y)=e^{\int f(x*y)dz}, \therefore  z=x*y

Ejemplo 4.

Caso 3: función sólo de x²+y²

\frac{1}{N(x,y)*x-M(x,y)*y}(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})=f(x^{2}+y^{2})

entonces,

\mu (x*y)=e^{\int f(x^{2}+y^{2})dz}, \therefore  z=x^{2}+y^{2}

Ejemplo 5.